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Dans ses travaux de théorie des nombres, Bachet s'inscrit dans la tradition de l'analyse diophantienne entière : il donne de nouveaux exemples numériques en entiers et surtout, des preuves à la mode euclidienne de nombreuses propositions[14]. D'après le théorème de Lagrange appliqué à (a, b, c) = (1, 0, 1), il s'écrit donc Au2 + Buv + Cv2 = p (> 0) avec B2 – 4AC = –4 < 0 (donc A, C > 0) et –4 ≤ B2 – 4B2. En revanche, 45 = 32×5 est somme de carrés, car 3 intervient à la puissance 2 (on trouve bien que 45 = 62 + 32). Un contexte important est l'étude des triangles rectangles en nombres, ou triplets pythagoriciens, c'est-à-dire des nombres vérifiant a2 + b2 = c2 : en effet, si les côtés a, b, c sont premiers entre eux, c lui-même s'écrit comme une somme de carrés. Fermat avait-il une démonstration complète de son théorème ? Tout nombre premier qui excede un nombre quaternaire de l’unité. Leonhard Euler s'est intéressé au théorème des deux carrés, comme à beaucoup d'autres résultats de théorie des nombres laissés par Fermat[28], et on lui doit les premières preuves connues de ces énoncés. Mais pource qu'il [Fermat] dit que cela mesme que j'ay omis comme trop aysé, est très difficile, j'en ay voulu faire l'espreuve en la personne du jeune Gillot […] ce qu'il a fait fort aysement. Si ces ensembles disposent toujours d'une addition et d'une multiplication conférant une structure d'anneau, plus la valeur n augmente plus elle devient complexe. Un autre constat élémentaire est le suivant : Cette propriété provient du fait que la division d'un carré par 4 ne peut donner pour reste qu'une des deux valeurs 0 ou 1. Avec cette notation, l'argument d'Euler (E228) se détaille ainsi. Cette référence comme la précédente, est l'une des plus célèbres introductions à la théorie algébrique des nombres. c La troisième partie concerne les sommes de deux carrés. ». Lagrange établit que réciproquement, tout nombre entier représentable de manière primitive par une forme est le coefficient du terme en X2 pour une forme équivalente, et que tout diviseur d'un nombre primitivement représenté par une forme est primitivement représentable par une forme de même discriminant (pas nécessairement équivalente). C’est bien sûr le cas de 2 (= 12 + 12) ; de même, 5 est la somme de 1 et de 4. {\displaystyle 4k-1} {\displaystyle c} Pour résoudre toutes ces questions, Diophante introduit une « quantité indéterminée d’unités » qu’il appelle « arithme » et exprime en fonction d’elle toutes les données du problème (c’est donc un ancêtre de la notion d’inconnue en algèbre). c y Une connaissance plus avancée en arithmétique modulaire permet une démonstration plus expéditive. Le livre est technique et couvre dans son intégralité la question du titre, une bonne référence pour aller plus loin. Son exposant dans n est donc le même que dans d2. Ses étapes préparatoires à ce lemme sont : Dans ses lettres à Goldbach, Euler note Ceci donne une piste pour comprendre la situation générale. d3) le nombre de diviseurs (pas nécessairement premiers) de n congrus à 1 (resp. Cette référence est l'une des plus citées comme introduction à la théorie algébrique des nombres. + Démonstrations directes . Or, il existe peu (voire pas du tout) de modèles de telles preuves d'existence dans un contexte arithmétique. Soient d = pgcd(a, b), a' = a/d, b' = b/d, n' = a' 2 + b' 2 = n/d2 et p un nombre premier congru à 3 modulo 4. {\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}} Un entier de la forme 4 k – 1 n'est jamais somme de deux carrés de rationnels. Cependant, les ingrédients qu'il a énoncés (petit théorème de Fermat, descente infinie) leur ont permis d'en élaborer d'autres. Diophante, Cette série de cinq volumes s'adresse aux. Les mathématiques se sont professionnalisées partout en Europe et des journaux réguliers, en particulier les publications des diverses Académies des sciences, offrent la possibilité de publier au fur et à mesure résultats et preuves. u L'énoncé complet du théorème et des applications figurent dans une observation au livre III, un cas particulier au livre V, près du problème 12 de Diophante mentionné plusieurs fois. Pn(cotan(t)^2)=sin((2n+1)t)/sin(t)^(2n+1) (Pour le calculer, utiliser la formule de Moivre pour développer sin((2n+1)t) … c Leur perspective combine, sur les problèmes diophantiens qui s’y prêtent, des techniques inspirées de l’algèbre naissante et un point de vue euclidien, en particulier une focalisation sur les nombres entiers et des preuves générales. , Certaines des preuves proposées ont aidé à la mise au point d'outils parfois sophistiqués, comme les courbes elliptiques ou la géométrie des nombres, liant ainsi la théorie des nombres élémentaire à d’autres branches des mathématiques. = Une telle expression est appelée une forme quadratique binaire[35] (c'est-à-dire une forme quadratique à deux variables). Le théorème des deux carrés bénéficie de ce double changement : il est intégré dans de nouveaux cadres, utilisé parfois comme une illustration des propriétés plus ou moins profondes mises à jour, et il est démontré plus directement, ou affiné, grâce à l'emploi de méthodes géométriques ou analytiques. 2 Il contient des démonstrations de tous les résultats de l'article. Les travaux de Gauss influencent les mathématiciens du siècle. Si, dans un premier temps, les entiers de 1 à 50 sont écrits sur quatre lignes en fonction du reste de leur division par quatre, on obtient : Les entiers notés en vert sont ceux qui peuvent s'écrire comme la somme de deux carrés parfaits, les entiers pour lesquels une telle écriture est impossible sont notés en rouge. Il conjecture dans ce contexte un résultat appelé à devenir une des lois centrales de la théorie des nombres, la loi de réciprocité quadratique, sans pouvoir le démontrer[31]. Plusieurs démonstrations du théorème utilisant des outils plus ou moins sophistiqués par Gilles Auriol, « Ajouter un même nombre à deux nombres donnés de manière que chacun d'eux forme un carré », « Trouver trois nombres tels que le nombre solide issu de ces nombres [autrement dit, le produit de ces trois nombres], augmenté de chacun d’eux, forme un carré, « partager l'unité en deux parties et ajouter à chacun des fragments un nombre donné, de manière à former un carré. 2, 3, 5 … Somme des inverses des carrés. On peut le vérifier sur 17 (= 4 × 4 + 1) ou 97 (= 24 × 4 + 1), qui sont bien tous deux d’une seule façon une somme de deux carrés (17 = 12 + 42 et 97 = 92 + 42), alors que des nombres premiers comme 7 (= 4 × 1 + 3) ou 31 (= 4 × 7 + 3) ne sont pas des sommes de deux carrés. b En particulier, Q2n(1) = (2n)!. La somme des inverses des carrés vaut pi 2 /6 si ma mémoire est bonne et je pense que je sais le démontrer en partant d'un signal, en faisant la série de Fourier et en donnant une valeur à la variable. Lettre du 25 décembre 1640 de Fermat à Mersenne. Ce critère permet à Euler de montrer que le 5e nombre de Fermat, 225 + 1, n'est pas premier car il s'écrit de deux manières comme somme de carrés : Il élabore même une méthode de factorisation à partir d'une telle double écriture. 2 », Les détails de l'utilisation de cette méthode par Fermat sont explicités dans, Pour le détail délicat des dates et des publications des différents résultats, voir. Ainsi, si n est de la forme décrite dans le théorème, alors n est un produit de sommes de deux carrés donc n est somme de deux carrés. Animateur Mathématiques Re : Somme de l'inverse des carrés L'égalité doit se prouver par une double intégration par parties, et comme on primitive le cos, puis le sin, on tombe sur 1/k². et deux rationnels En particulier, la décomposition est unique lorsque m est égal à 1 ou 2, c'est-à-dire lorsque n ne possède aucun facteur premier de la forme 4k + 1, ou alors un seul et avec exposant 1. Fermat est tout particulièrement conscient de cette difficulté : dans un défi mathématique aux mathématiciens d'Europe, en 1657, il déclare : « À peine trouve-t-on qui pose des problèmes purement arithmétiques, ni qui les comprenne. x À l'instar de beaucoup d'équations diophantiennes, c’est-à-dire d’équations dont les coefficients et les solutions cherchées sont des nombres entiers ou fractionnaires, la simplicité de l'énoncé cache une difficulté réelle de démonstration. Des nouvelles preuves et diverses généralisations sont proposées au cours des siècles suivants. U Plusieurs mentions pertinentes pour la détermination des nombres sommes de deux carrés apparaissent de manière dispersée dans divers problèmes. Ces deux conjectures sont pour la première fois démontrés par Euler, en 1759 et, pour le cas p ≡ 3 mod 8, 1772[71]. Dans une longue missive à Mersenne[21] datée du jour de Noël 1640, Fermat énonce ses fondements pour résoudre tous les problèmes liés aux sommes de carrés. En effet, soit a = 2m + e un entier, avec e égal à 0 ou 1 (selon la parité de a), alors e2, qui vaut 0 ou 1, est le reste de la division par 4 de a2 = 4(m2 + me) + e2.Si n est une somme de trois carrés a2 = 4M + e, b2 = 4N + f, c2 = 4O + g, avec e, f et g égaux chacun à 0 ou 1, alors e + f + g, qui vaut 0, 1, 2 ou 3, est le reste de la division par 4 de n = 4(M + N + O) + e + f + g. Si ce reste est nul, e = f = g = 0. avec Gauss propose un nouvel enrichissement structurel de l'ensemble des couples de coordonnées entières. De telles formes seront appelées « équivalentes » par Gauss quelques décennies plus tard et l'exploration de cette relation entre formes quadratiques par Lagrange constitue l'une des premières études connues d'une relation d'équivalence. N'est ce pas parce que jusqu'ici l'arithmétique a été traité géométriquement plutôt qu'arithmétiquement[24] ? Albert Girard est le premier mathématicien qui énonce le théorème. V En mathématiques, le théorème des deux carrés de Fermat énonce les conditions pour qu’un nombre entier soit la somme de deux carrés parfaits (c'est-à-dire de deux carrés d’entiers) et précise de combien de façons différentes il peut l’être. En conséquence, la démonstration fondée sur les entiers de Gauss est due à Dedekind, celle utilisant les résultats de Lagrange sur les formes quadratiques est due à Gauss et certains résultats de Fermat sont exprimés en termes de résidus, vocable contemporain qui n'apparaît qu'à la fin du XVIIIe siècle. Il existe donc un entier a vérifiant les conditions voulues. Cette démonstration a été par la suite reprise en particulier dans l'ouvrage Raisonnements divins[64]. Euler trouve une méthode astucieuse ; il établit d'abord le lemme suivant[53] en utilisant la descente infinie : Si un entier n > 0 est somme de deux carrés premiers entre eux, alors tout diviseur de n est somme de deux carrés. Ce livre traite du théorème des deux carrés avec les outils de Lagrange et de Jacobi ainsi que de l'équation diophantienne en général. la propriété d'un entier p d'être somme de deux carrés d'entiers. La première démonstration publiée, due à Euler[48], utilise le petit théorème de Fermat : Cette proposition suffit à prouver que la condition pour qu'un entier positif soit somme de deux carrés est nécessaire (voir infra). Considérons la suite de polynômes Qi(X) définie par récurrence de la manière suivante : Pour tout entier i compris entre 1 et 2n, le polynôme Qi est de degré 2n – i et son coefficient dominant est égal à (2n)(2n – 1)… (2n – i + 1). Alors qu'il publie, en 1625, la traduction par Simon Stevin des livres de Diophante, Girard annonce sans preuve, dans ses annotations[11], que les nombres s'exprimant comme somme de deux carrés d'entiers sont, « I. Tout nombre quarré. ∀ Exemple : Racine carrée de l'inverse d'un nombre strictement positif : La racine carrée de l'inverse d'un nombre strictement positif est l'inverse de la … Euler étudie en particulier, à côté d'autres équations diophantiennes, les trois familles d'équations suivantes : Ici, m désigne un nombre entier strictement positif et p un nombre premier. Comme une telle suite n'existe pas, il est démontré qu'une hypothèse est fausse. Les deux nombres a et c sont évidemment représentés de manière primitive (c'est-à-dire avec des entiers x, y premiers entre eux) par la forme quadratique ax2 + bxy + cy2 donc par toute forme équivalente. Une condition nécessaire pour que p soit somme de deux carrés est donc qu'il divise une somme de deux carrés premiers entre eux. La dernière équation généralise celle associée au théorème des deux carrés (cas où m est égal à 1). Il arrive ainsi à trouver une solution numérique particulière, par exemple pour le problème II.11 la solution 97/64 si les nombres donnés sont 2 et 3, et pour le problème IV.22, la solution 1, 34/6 et (2.1/2)/6. En effectuant dans q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 le changement de variables x = αX + βY, y = γX + δY, on construit une forme quadratique entière Q(X, Y) = a' X2 + b' XY + c' Y2 équivalente à q et telle que mn = q(α, γ) = Q(1, 0) = a'. Une étape de la démonstration consiste à identifier et reformuler une condition nécessaire — dont chacune des cinq sections suivantes montrera qu'elle est suffisante — pour qu'un nombre premier p soit somme de deux carrés, en remarquant que si x2 + y2 est premier ou, plus généralement, sans facteur carré, alors x et y sont premiers entre eux. D'une part, elle donne lieu à de vastes synthèses théoriques, unifiant de nombreuses questions jusqu'alors éparses. Si les idées de Gauss permettent de mieux comprendre les nombres, le cas général[pas clair] reste hors de portée. Le « si » (le fait que tout nombre premier de la forme 4k + 1 est somme de deux carrés) semble encore hors de portée…. Z p = ». Inverse . Mais enfin une méditation diverses fois réitérée me donna les lumières qui me manquoient, et les questions affirmatives passèrent par ma méthode, à l'aide de quelques nouveaux principes qu'il y fallut joindre par nécessité[26]. , En 1654, à la fin d'une lettre à Pascal[68], Fermat conjecture que pour tout nombre premier p : Les réciproques sont immédiates, par des raisonnements « à la Diophante ». ce qui prouve que |A| ≥ |B|. Notons m ce diviseur, mn = aα2 + bαγ + cγ2, et β, δ entiers tels que αδ – βγ = 1. {\displaystyle p={\begin{array}{|c|}\hline 2\\\hline \end{array}}\ } Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. L'une au moins de ces valeurs est donc non multiple de p, ce qui termine la démonstration[52]. Fermat remarque aussi[27] que des lois analogues peuvent être trouvées pour les nombres premiers x2 + 2y2 = p et x2 + 3y2 = p. L'environnement scientifique du siècle suivant est bien différent. a B Elles utilisent souvent aussi le petit théorème de Fermat. 2   On en déduit que B2 est pair et ≤ 4/3, donc B = 0 et A = C = 1, si bien que p = u2 + v2[60]. D'autre part, de marginale qu'elle était dans l'ensemble des mathématiques, elle devient l'objet de nombreuses interactions avec d'autres branches, comme la géométrie ou l'analyse réelle ou complexe. 2 La première publiée, encore due à Euler[49], est, chronologiquement, le « dernier maillon » de sa preuve du théorème des deux carrés. La preuve de Heath-Brown était elle-même inspirée par une preuve de Liouville. Par exemple, 5 = (±2)2 + (±1)2 = (±1)2 + (±2)2 admet 8 représentations comme somme de deux carrés. On montre de même que |C| ≥ |B|. À titre d'exemples, le problème 11 du livre II est le suivant : « Ajouter un même nombre à deux nombres donnés de manière que chacun d'eux forme un carré », ou encore le problème 22 du livre IV : « Trouver trois nombres tels que le nombre solide issu de ces nombres [autrement dit, le produit de ces trois nombres], augmenté de chacun d’eux, forme un carré[7]. Muni de cette norme, l'anneau est euclidien, c'est-à-dire que si b ≠ 0 et a sont deux entiers de Gauss : Tout anneau euclidien est aussi factoriel, ce qui signifie que le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique encore. Celle présentée dans cet article est la seconde[44]. Tout produit de puissances paires d'entiers est un carré, La suite de la démonstration est identique à celle de Dedekind (, Un entier strictement positif est somme de deux carrés, Une somme de deux carrés premiers entre eux n'a aucun facteur premier de la forme 4, Réciproquement, –1 est un carré modulo 2 et modulo tout nombre premier de la forme 4.

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